泛函分析：我的理解#

这个板块理论上是很多高年级数专的本科生才会接触的内容，但是我自己在大一上研究过一段时间线代，后面接触到了线性泛函，于是自然而然的延伸到了泛函分析（对这块内容感兴趣的欢迎去看我之前的文章），了解了一些核心概念和应用领域。

自己的理解是：泛函分析是一门以实变函数（特别是勒贝格积分）和抽象代数等为基础的，研究高维空间中空间本身的性质和变换过程的学科。中间也有过很多次卡壳的地方，比如 Hilbert 空间和 Banach 空间的区别（现在知道了 Hilbert 空间是带有内积的完备空间，而后者只带范数）、抽代核心思想在这里的应用，以及泛函分析如何与其他板块相联系，比如流体力学和拓扑学等等。

当然我也清楚有些太超纲的东西我现在研究没有意义，于是有过很多次的适可而止——也不是我自己不想研究，归根到底是性价比很低，于是有些领域的知识目前推进的很缓慢。

调和分析：补分析学的必经之路#

这个板块其实我在大一上是没有接触的，只知道傅立叶级数、傅立叶变换等知识隶属调和分析，当时主要是在搞代数板块，特别是抽象代数、线性代数和泛函分析。

至于调和分析这个板块，我是在大一上自己线性代数成一定体系之后（说是一定，因为还有很多细节自己依旧是不懂的状态，比如谱理论，与李群、李代数的深层联系这种，后面有考虑去深究），并且接触大物，必须回来补分析学的知识，于是自己在已学的实变函数、传统黎曼积分、实分析、泛函分析基础上，又去了解了调和分析和复分析（这个板块目前还没有来得及去深入学习，后面学习后也会考虑出文章）。

但是当时其实自己还不知道麦克斯韦方程组和这块的联系，而且对于麦克斯韦方程组与其他板块的联系，自己也还是不怎么清楚。

麦克斯韦方程组：从四元数到电磁场垂直#

第一次初次知道这个概念是高中学电磁学，只看了一下公式，当时也看不懂，当然顺理成章的没有去深究 hh。第二次是在研究点乘叉乘的时候发现了四元数这个概念，通过四元数引入的点乘叉乘，后面在学物理的时候，对于麦克斯韦方程组里面电场磁场垂直的这个自然现象很疑惑（当时在想为什么这个公式组一定可以保证电磁场垂直），问 AI 也只给我说是实验得出来的自然现象，本来就成立。

但是我不信邪，还是不知道为什么通过一个自然现象就有了这一坨公式的产生。后面去查了查数学史，发现是由四元数推出来的，而四元数又天生包含叉乘的性质，自此逻辑形成了闭环。

三者关系：逻辑闭环#

那么说到这里，可能就有人要问了：啊那你说了这么多，也没有看出来这三个之间有什么关系啊？是的没错，我之前刚知道是四元数推出麦克斯韦方程组的时候也没有发现。

转机则是在网上和网友聊旋度散度的时候（我当时因为知道了方程组的由来，就去研究了一下公式本身什么意思，由此学了散度旋度梯度，当时也只是了解了一下概念，并没有想太多），然后对方说这块公式本质上是微分方程，表示一个映射过程。我当时转念一想，怎么这么熟悉——毕竟泛函分析研究的东西就包含映射。后面自己上网一查，果然发现了这俩的关系。

至于调和分析，则是在后面上物理课的时候，老师提到了麦克斯韦方程组和电磁学的关系。虽然没有提及调和分析，但是凭我当时的知识储备，我已经知道了电磁波的代数形式就是一个波动方程，隶属调和分析的方程，而电磁波则是在麦克斯韦方程组之上顺理成章的推导出来的，由此我便大致知道了这三者的关系。

总结#

首先，按照数学史：从四元数得到了点乘叉乘，进而得到了麦克斯韦方程组。而在方程组中，旋度散度作为线性微分算子，天然具有线性，作用在电磁场上，自然而然的产生了新的场，整体就是一个映射过程，也就是泛函过程。而以此为支点，后面就可以讨论有无解的问题，以及更深入的场论等等（但是严格来说麦克斯韦方程组本质就是在场论中研究的）。

而麦克斯韦方程组延伸出去得到了电磁波，电磁波本质上是波动方程，隶属调和分析的范畴，可以用代数视角描述空间中的几何变换。

所以，一句话来说就是：

泛函分析为麦克斯韦方程组提供了严格的函数空间，使得我们可以讨论解的存在性、稳定性、唯一性；调和分析则是在这个背景之下对其产生的电磁波本身进行的具体研究，也就是傅立叶分析。

总之，以上只是自己作为一个大一新生自己的一些个人思考与见解，难免有很多不严谨或者细节不到位的情况，在此欢迎各位老师提出相关指正！自己后面也会继续学习代数和分析相关的知识，或者往几何方向进行一些延伸，后面接触电子信息或者深入学习计算机之后，也会考虑出一些学科交叉的文章，在此也欢迎各位老师提出好的建议！自己将不吝采纳！

原文发布于知乎，收录于《桂电密码学本科生的数理交叉学习笔记》系列，作者：亦梦。