我是怎么学到泛函分析的#

我在大一上了解到密码学专业的相关前沿方向的基础是线性代数，于是大一上先是课内学了线代课程，课外自己在大一中期时候专门去系统性学了线代（因为校内课程比较偏应试，课内难以理解线代内核与原理，有对此部分感兴趣的详见我的上篇文章）。然后自己在深究过程中免不了的接触了线性泛函——当时线代第一次接触这种抽象概念，加上我平时钻研数学也比较执着，当时对这一块内容很感兴趣，于是就顺着这条”线代 → 线性泛函”的逻辑链一步步深究下去，于是就接触到了这个大学数专高年级本科生才会接触的内容——泛函分析。

然后知道了泛函分析的核心是研究无限维空间上的线性算子，核心是 Lp 空间以及勒贝格积分（其实我觉得抛开泛函分析不谈，光是线性泛函这个概念和内积、矩阵这三者之间的联系就很微妙，也很有意思，后面有时间会考虑专门写一篇文章详细讲讲）。

我是怎么知道实变函数的#

关于实变函数，其实这个概念刚开始我是不知道的（毕竟在大一上期我是以线性代数为支点展开数学的拓展学习的，而线代往下是抽象代数，往上则是泛函分析，这条逻辑链跟实变函数有关但是不大）。那我是咋了解到这个的呢？起因是在某个 QQ 数学竞赛群和网友交流数学时候，偶然谈到了迪利克雷函数可积性。当时在我看来这个函数是不可积的，但是别人说这个函数在传统黎曼积分视角下确实不可积，但是在实变函数的范畴里面可积的时候，自己就被狠狠震惊到了（事实上关于可积性，我也觉得很有意思，可以和可测性、可微性啥的进行对比联系）。

于是就去网上查了查资料，了解到了实变函数的核心思想是换自变量——人话说就是换一个积分视角，把从 X 积分换成从 Y 积分，这样的话原函数在 Y 为自变量的前提下就变的可测了（这块内容我自己觉得很精彩）。

转机：实变和泛函到底啥关系#

看到这里可能会有不懂的人会问：你这个实变函数和泛函分析看起来也没啥关系啊？是的没错，当初我学完实变函数也是这么认为的，没看出来这两有啥关系（其实也只是了解了一下实变核心思想而已啦，我不是数专的不可能花时间去系统性学），然后这样的状态也是持续了蛮长的一段时间。

事情转机大概是上周周末。晚上在 QQ 和群内的网友交流泛函分析的时候，对方问我实变学的咋样，我说自己是先学的泛函，实变没咋学（事实上也确实没有系统学习），对方此时说不应该是先学实变再学泛函吗？此时我就很疑惑了，因为我确实是先接触的泛函分析，后面学的实变函数。于是此时我又开始在网上搜索两者相关知识，并尽量在自己能力范围之内梳理这两者关系。自己当时为了解决这个问题，顶着早八的压力还浅熬了一下 hhh，于是也就有了这篇文章的诞生（现在才写则是因为平时要上课 + 运动 + 学数学没啥时间）。

总结：一条逻辑链#

首先，在我看来，实变函数作为分析学的一个分支（拓展一下：在我看来分析学以实分析为基础，主要分为调和分析、复分析和泛函分析三大板块，并最终可以统一成微分方程），实变函数的核心是原函数不变，换了一个方向测量函数整体的可积性，以此达到可积的效果。而泛函分析的核心则是在高维空间下，将原空间里面的元素映射到另外一个空间。此处相当于就是：泛函分析用了实变函数中的勒贝格积分，在 Lp 空间已经有的内积基础上，使得将自己原来的函数空间里面的元素进行积分过程，完美地映射到了实数域中，这个过程也就是泛函。

具体来说，勒贝格积分让我们能构造出 Lp 这样的函数空间，而泛函分析就在这些空间上研究线性算子和对偶性（有意思的是加上完备性之后，整个空间就变成了著名的 Hilbert 空间）。所以实变函数和泛函分析的关系用一句话概括是：实变函数为泛函分析提供了函数空间与积分工具，泛函分析把这些东西抽象成为抽象的空间理论。

总之以上只是一部分个人数学学习过程中的思考。最近也在努力试着找到代数、几何、分析三大板块之间的关系，加速自己数学这一块知识体系的构建；后续深度学习大物、计算机甚至电信后会考虑出一些学科交叉类的文章。欢迎各位大佬给出相关指导！也欢迎各位大佬对本文中的不足之处进行指正！

对了，第一篇收录于一个桂电密码学本科生的数学学习笔记，第二篇也是一样。

原文发布于知乎，作者：亦梦。